多邊形外角和

想像你沿著多邊形的邊繞一整圈，像巡視一塊圍起來的田地，始終面朝前方。在每個角你都要轉某個角度，才能沿著下一條邊前進。等你回到出發點、面向最初的方向時，你已經轉了整整一圈。這些轉角的總和就是外角和。

一個頂點處的外角，是某條邊延長線與下一條邊之間的夾角——等同於該處內角的補角，因為內角與外角合起來構成一條直線（它們和為 180 度）。引人注目的事實是：對任何凸多邊形，每個頂點取一個外角，外角總和恰為 360 度——無論多邊形有幾條邊。「繞行」論證就是它的證明：繞一整圈就是轉一整圈，360 度。你也可以由內角和導出它：n 個內角加 n 個外角共為 n·180（n 條直線），所以外角和為 n·180 - (n-2)·180 = 360 度。

因為總和固定為 360，正 n 邊形的每個外角都等於 360/n 度——例如正三角形 60 度、正方形 90 度、正五邊形 72 度。這常是求正多邊形角度最快的途徑：先求外角 360/n，內角便是 180 減去它。提醒：這個漂亮的 360 是對凸多邊形、每個頂點計一個外角時成立；對凹多邊形或自交多邊形，你必須帶正負號追蹤轉向（左轉為正、右轉為負），帶號總和為 360 乘以邊界繞行的圈數——旋轉指標——它未必等於 1。