旋轉指標（rotation index）

沿一個封閉的環形路行駛，回到起點並面朝起始方向。一路上你面對的方向不斷改變——有時左轉、有時右轉——但回到原點時，你的朝向必定完成了整數個完整的轉。那個整數，帶號計算（逆時針為正、順時針為負），就是這個環的旋轉指標。它記錄你方向的總淨轉動量，打包為整數個完整圈數。

精確地說，對以固定方向行進的光滑封閉平面曲線，觀察單位切向量 T。當你繞環一周，T 旋轉一圈，因曲線閉合，最後恰指回起始方向——故它掃過的總角度是 2 pi 的整數倍。旋轉指標（亦稱轉數）就是這個整數：總轉動角除以 2 pi。你也可算為沿曲線對帶號曲率積分再除以 2 pi：旋轉指標 = (1/(2 pi)) 乘 kappa_s ds 的積分。逆時針描出的圓旋轉指標為 +1；順時針則為 -1；八字形中兩瓣轉向相反而抵消，旋轉指標為 0。

旋轉指標是個穩健的離散不變量：曲線的微小擺動無法使整數連續改變，故在任何保持曲線光滑且閉合的連續變形下它都不動（事實上它是切線方向的同倫不變量）。深刻的相伴結果——霍普夫繞行定理——為最簡單的環釘定了它：每條簡單封閉曲線（不自交者）的旋轉指標恰為 +1 或 -1，正負號僅記錄定向。兩點誠實的提醒。其一，別把旋轉指標與繞某點的環繞數混淆：旋轉指標追蹤切線「方向」的轉動，而環繞數計算曲線繞某給定點幾圈——不同曲線可能其一相同而另一不同。其二，此指標帶號且依賴定向：反向行進，其號翻轉。