曲線的微分幾何
單位切向量（unit tangent vector）
站在一條蜿蜒的路上，朝你面對的方向筆直指出，不論你走得多快，都只取一步長的箭頭。那支箭頭就是單位切向量。它擷取沿曲線行進的純粹方向，刻意剝除一切速率資訊，使同一條路、同一點上的兩位旅人共用同一支箭頭，即便一人疾奔、一人漫步。
精確地說，對正則參數曲線 r(t)，速度 r'(t) 指向運動方向，但其長度是速率。要只保留方向，便除以長度：T = r'(t) / |r'(t)|。這使 T 成為單位向量，|T| = 1，沿該點曲線的切線方向。若曲線以弧長參數化，速率已為 1，故公式漂亮地簡化為 T = r'(s)——對弧長微分自動給出單位向量。該點的切線是過該點、沿 T 方向的直線；它是曲線在該處最佳的直線近似，是若曲線突然消失你會沿之飛出的路徑。
T 是隨小蟲移動的活動標架的第一位成員。當你沿曲線前進，T 會轉動；它轉動的速率正是曲率，而它轉動的方向給出主法向量。所以單位切向量是整套福雷內-塞雷機制萌生的種子。一個誠實的細微處：T 依賴曲線的定向。若你重新參數化以反向走同一條路，每個 T 都反轉為 -T，因為「前方」的意義已變——方向是你必須選定並記住的真實資料。
對 r(t) = (cos t, sin t)，r'(t) = (-sin t, cos t)，且 |r'(t)| = 1，故 T(t) = (-sin t, cos t)。在 t = 0 時點為 (1, 0)、T = (0, 1)：你位於圓最右端、正朝正上方移動，恰沿切線 x = 1。
T = 速度除以速率：純粹方向、長度 1、與曲線相切。
T 記錄方向而非速率：|T| 恆為 1。且 T 指向你行進的那一邊——反轉參數化使 T 變為 -T，所以切向量帶有定向，切線本身則無。
又稱
另見