霍普夫繞行定理（Hopf Umlaufsatz）
/ hopf OOM-lowf-zahts /
取一圈繩平放桌上，使它從不自我交叉，讓一隻小蟲沿之繞行一周。小蟲不斷轉向——在和緩的彎處輕輕左偏、在另一些彎處右擺——你或許以為這一切轉動的記帳會以某種複雜方式取決於環有多曲折。霍普夫繞行定理（德文意為「繞行定理」或「轉動定理」）卻說了件美妙而簡單的事：無論環如何曲折，小蟲的方向恰好淨轉整整一圈。總轉動量永遠精確地是 2 pi。
精確陳述：對簡單封閉正則平面曲線（閉合、光滑、不自交），其切線的旋轉指標逆時針行進時恰為 +1、順時針時為 -1。等價地，沿曲線對帶號曲率的積分等於 2 pi（或 -2 pi）：逆時針定向下 kappa_s ds 的積分 = 2 pi。對凸曲線這很容易感受——切線從不倒退，穩穩地繞一圈，總曲率為 2 pi（圓是顯然的情形，切線掃過整整一圈）。霍普夫的貢獻在於對「所有」簡單封閉曲線證明它，即使是兼有左彎與右彎、高度非凸者：右向與左向的轉動仍合為單一淨環，因為曲線必須閉合而不自交。其證明構想用一個關於成對點間夾角的巧妙連續性論證（割線方向的同倫），證明該整數只能是正一或負一。
它何以要緊：繞行定理是平面曲線整體微分幾何的基石，也是通往著名高斯-博內定理的門徑，後者把「總轉動量等於 2 pi」推廣到彎曲的曲面。它也解釋了任何封閉凸曲線總曲率恰為 2 pi 這個古典事實。值得說明的誠實提醒。其一，簡單性是本質的：八字形這類自交曲線「不」在涵蓋之列，其旋轉指標確為 0 而非 1。其二，這是關於切線「方向」轉動的定理——一個微分幾何的陳述——應與純拓樸的環繞數與連結數區別開來，後者計算對「點」的環繞，而非「方向」的旋轉。其三，+1 對 -1 只是定向約定；翻轉它時形狀毫無改變。
比較一個圓、一個橢圓、與一個光滑而起伏的豆形環，皆為簡單且逆時針行進。每一個的切線都恰好淨轉一圈逆時針，故沿各曲線對帶號曲率的積分恰為 2 pi——即使豆形有些段落朝一邊彎得猛、朝另一邊彎得緩。相比之下，八字形被排除（它自交）並給出 0。
任何簡單封閉平面曲線：切線的總帶號轉動恰為 2 pi。
定理要求曲線是簡單的（不自交）：八字形不在涵蓋之列，其旋轉指標為 0。請把這個微分幾何的「切線轉動」與屬於拓樸學的環繞數、連結數區分開來。