波函數的光滑性

波函數的光滑性，是對一個物理波函數提出的「要接得整齊」的要求：凡是位能為有限的地方，波函數及其斜率都必須連續，不得有突然的跳躍或尖銳的扭折。這並非隨意的審美偏好，而是薛丁格方程式自身的直接後果，因為方程式中含有波函數的一個二階導數。

推理很乾淨。波函數的跳躍會使它的一階導數變成無窮，斜率的扭折會使二階導數變成無窮。可方程式說，那個二階導數正比於有限的量 (V − E) 乘以波函數。一個有限的右邊不可能等於一個無窮的左邊，所以在 V 有限之處，波函數必須光滑。

這些光滑性條件，是用來求解實際問題的實用「膠水」。在任何由不同位能的區域拼成的情形裡——一道台階、一口阱、一道位壘——你在每個區域分別求解方程式，然後要求各段在每個接縫處數值與斜率都對得上。正是這些匹配要求，決定了被允許的能量，以及波在兩側的相對大小。