希爾伯特空間

希爾伯特空間是量子態所棲身的抽象舞台。在數學上它是一個向量空間——你可以把態相加，也可以用數去縮放它們——並配有一個內積，讓你能夠追問一個態與另一個態有多少重疊，再加上一個完備性條件，使得即便空間擁有無窮多個維度，數學仍然性質良好。量子系統每一個可能的態，都是這個空間裡的一個向量。

不妨從三維空間裡尋常的箭頭出發：你可以把兩支箭頭相加、把它們拉長，還能用點積量出它們之間的夾角。希爾伯特空間就是把同一個想法推得更遠：這裡的「向量」是量子態，你用來縮放的數是複數而不只是實數，而獨立的方向可以有無窮多個。比如單個粒子的位置態，就需要為它可能出現的每一個點各設一個方向。

為什麼要費力採用這樣一幅抽象圖景？因為它讓同一套簡潔規則既能描述只有兩個態的自旋，也能描述可以處在直線上任何位置的粒子。一旦你接受態是向量、而測量對應於作用在它們身上的算符，量子力學的全部機器——疊加、機率、隨時間的演化——就都化為這個空間裡的幾何，這遠比分別擺弄波函數和矩陣來得清爽。