算符的期望值

算符的期望值，是指：如果你把同一個態反覆製備許多次，每一次都去測量對應的可觀測量，你所預期測得的平均值。對一個態 |ψ⟩ 和一個算符 Â，它寫作 ⟨ψ|Â|ψ⟩，是一個概括典型結果的單一數值。它未必是任何一次測量真能得到的值——它是許多次測量的長程平均。

這個量在抽象的算符與實驗室真正記錄到的東西之間架起一座橋。每一次單獨的測量都給出某個本徵值，按由量子態所設定的機率隨機選取；而期望值就是這些本徵值按那些機率加權的結果。所以，期望值告訴你那一團可能結果的中心落在何處，哪怕任何單次結果都可能在它周圍散開。

期望值正是量子力學與日常經典世界相連接的方式。比如，一個波包的平均位置與平均動量，其運動幾乎就如牛頓定律所規定的那樣——這個結果被稱為埃倫費斯特定理。結果在期望值周圍散開的寬度，由標準差刻畫，正是不確定性原理所約束的對象。