對偶空間

對偶空間是左矢所棲居的相伴空間，與右矢的空間並肩而立。右矢是一個量子態，而它的左矢則是某種測量裝置：一條規則，接受任何右矢並返回一個複數。所有這類規則的集合，自成一個向量空間，即對偶空間，它正是每一個左矢 ⟨φ| 的天然居所。

兩個空間之間有一種完美的一一對應。每個右矢 |ψ⟩ 都恰好對應一個左矢 ⟨ψ|，由厄米共軛——轉置並取複共軛——得到。這種對應並不全然是簡單的複製：把一個右矢乘以複數 c，與它對應的左矢乘的卻是共軛 c*。正是這一處微妙的扭轉，使得內積表現得正確，使得長度算出來是實的、正的。

為什麼非要把態分成兩個空間不可呢？因為這樣能乾淨地分開一個態必須承擔的兩份職責。作為右矢，它是可以被變換、被演化的東西；作為左矢，它是從別的態中讀出資訊的東西。把對偶空間裡的一個左矢與一個右矢湊到一起，便得到內積——一個數——而兩個空間的這次相遇，正是可測量的量誕生之處。