左矢

左矢，寫作 ⟨ψ|，是右矢的搭檔。右矢 |ψ⟩ 代表一個量子態，而左矢則是一台機器：它吞下一個右矢，吐出一個單一的複數——內積。把右矢 |ψ⟩ 遞給左矢 ⟨φ|，它便返回 ⟨φ|ψ⟩，即兩個態之間的重疊。你可以把左矢想像成一行數字，正等著去乘一列數字。

每個右矢都恰好配有一個左矢，由一道稱為厄米共軛的手續得到：你把列轉置成行，再把每個數換成它的複共軛。正是這道額外的共軛，使得一個態與自身的內積 ⟨ψ|ψ⟩ 得出一個實的、非負的數——也就是這個態的長度的平方，這對於得到合理的機率至關重要。

左矢棲身於自己相伴的空間，即對偶空間，與右矢的空間完美對應。同時擁有兩者的全部意義就在於那個括號：一個左矢遇上一個右矢，產生一個數，而物理正是從這個數進入的。重疊、機率、期望值，以及算符的作用，都是由左矢與右矢咬合在一起組裝而成的。