角動量算符

在量子力學中，每一個可測量都由一個算符來表示——它是作用於波函數的一道數學指令——角動量也不例外。算符 Lx、Ly、Lz 分別代表軌道角動量沿 x、y、z 方向的三個分量，第四個算符 L² 則代表總大小的平方。它們由位置與動量按 L = r × p 構造而成，編碼轉動的方式，正如動量算符編碼直線運動。

你對一個態能知道什麼，由這些算符所裁定。允許測得的數值就是它們的本徵值：測 Lz，你得到某個 m·ℏ 值；測 L²，你得到 ℓ(ℓ+1)·ℏ²。球諧函數恰恰就是 Lz 與 L² 作用其上時乾淨俐落、返回一個確定數值的那些波函數——這正是為何是這兩個算符、而非其餘算符來標記角動量態。

這些算符最深刻的特徵在於：它們並不全都和睦相處。Lx、Ly、Lz 彼此不對易，意味著你施加它們的先後次序會影響結果。在物理上這是說，你無法同時把角動量的三個分量都釘死：選擇把 Lz 知道得清晰，就逼得 Lx 與 Ly 保持未定。這是不確定性原理披上的轉動外衣，它從算符的代數裡嚴格地推導而出。