證明（proof）

證明是一條滴水不漏的推理鏈條，它表明一個數學命題為真——不是「大概為真」，也不是「凡是查過的情形都對」，而是帶著徹底的確定性，永遠為真。每一環都憑純粹的邏輯由上一環推出，就像一排骨牌：推倒第一張，最後一張必倒無疑。一旦證明成立，結論便永久塵埃落定；未來任何實驗、任何反例都無法將它推翻。

這正是數學與幾乎一切其他事物不同之處。科學家可以把一個論斷檢驗一百萬次，卻仍可能在第一百萬零一次被推翻；而一位證明了質數有無窮多個的數學家，知道這件事的篤定程度，就如同你知道二加二等於四。整座大廈都是這樣建起來的：從少數幾條樸素的假設出發，一步一步小心地推出其餘的一切。

一個常見的誤解，是以為「驗證大量例子」就算證明。它不算。一個規律可以在前十億個數裡都成立，然後悄悄地破裂——數學史上這樣的陷阱比比皆是。例子能讓你相信某事很可能為真，並暗示其中的緣由，但唯有證明能擔保它在每一種情形下都成立，連那些大到永遠無法逐一核對的情形也不例外。