乘積測度

乘積測度是當你已知如何沿每條軸量度「長度」之後，用以量度「面積」的方法。若一個空間量度水平方向的延展，另一個量度豎直方向的延展，乘積測度便把一個矩形的測度定為其寬與高之積，再把這條規則一致地推廣到合併空間中遠為複雜的區域。它是二重積分背後的抽象引擎。

給定兩個 sigma 有限測度空間 (X, A, mu) 與 (Y, B, nu)，乘積 sigma 代數 A ⊗ B 由可測矩形 A × B（A 屬於 A、B 屬於 B）生成。在該 sigma 代數上存在唯一的測度 mu × nu，對所有這類矩形滿足 (mu × nu)(A × B) = mu(A) 乘以 nu(B)。唯一性需要 sigma 有限性；缺之則構造可能不唯一。R^2 上的勒貝格測度正是這樣作為 R 上勒貝格測度兩份副本的乘積而生（再行完備化）。

如此小心地構造該測度，意在使逐個變量地在乘積上積分成為合法。一般集合的測度透過切片計算：固定 x，在 Y 中量度切片，再把這些切片測度對 X 積分——而富比尼—托內利定理確證以另一順序進行會給出同樣的答案。一個微妙處：兩個完備測度之乘積（如勒貝格 × 勒貝格）未必完備，故通常事後再作完備化。