富比尼—托內利定理

富比尼—托內利定理是把一個二重積分按任一順序拆成兩個單重積分來計算的許可證。直觀地說，曲面下的體積可透過掃過豎直切片的面積再相加求得，而你是從前往後切還是從左往右切本不應有別。該定理恰好說明此直觀何時嚴格成立——同樣重要的是，何時會失效。

在 sigma 有限的乘積空間上它分兩半。托內利那一半：若 f 非負且可測，則二重積分等於每個累次積分，事先無需假定可積性——無論以哪種方式進行，答案相同（可能為 +無窮）。富比尼那一半：若 f 在乘積上可積（|f| 的積分有限），則三個積分再次一致且有限，且對另一變量的幾乎每個固定值，內層積分都有限。實務上先對 |f| 用托內利確認可積，再對 f 本身用富比尼。

這些前提並非擺設。若 f 變號且非絕對可積，兩個累次積分可能確實不一致。單位正方形上一個標準的警示例子用 f(x, y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2：按一種順序積分得 pi/4，按另一種順序得 -pi/4。|f| 的二重積分為無窮，故富比尼與托內利皆不適用，於是順序驟然變得要緊。