粒子濾波（particle filter）

粒子濾波是非線性、非高斯濾波的實用數值方法——當條件分布非高斯故卡爾曼濾波不適用、且扎凱／庫許納-斯特拉托諾維奇隨機偏微分方程無封閉解時，你會求助於它。其想法簡單得令人愉快：把隱藏狀態的條件分布不以公式、而以一團加權隨機樣本（「粒子」）來表示，並在每個觀測到來時更新這團雲。它是隨時間序貫運行的蒙地卡羅方法，故又名序貫蒙地卡羅（SMC）。

基本（自助）粒子濾波循環三步。（1）傳播：把每個粒子透過訊號動態往前推，由給定 X^(i)_t 的轉移律抽出 X^(i)_{t+1}——這是預測步，粒子如隱藏狀態般漂移擴散。（2）加權：當觀測 y 到來，把每個粒子的權重乘上「給定該粒子時該觀測的似然」，w^(i) 正比於 p(y given X^(i))——能良好解釋資料的粒子得重權，不能的得輕權；加權經驗測度 sum_i w^(i) delta_{X^(i)} 此時逼近條件分布。（3）重抽樣：從當前加權集合（有放回地）抽出一組新的等權粒子，複製重粒子、淘汰輕粒子。重抽樣是對權重退化的關鍵修正——若無它，幾步後幾乎所有權重會塌縮到單一粒子，雲便不再代表該分布。隨粒子數 N 增大，加權經驗測度收斂到真條件分布。

粒子濾波之所以重要，在於它一般（任何狀態空間模型、任何雜訊）、易於實作，且是真正非線性濾波唯一在極限下精確的實用工具——廣泛用於機器人定位、目標追蹤、流行病學與貝氏計算。實務者必須面對的誠實提醒：收斂為蒙地卡羅速率 1/sqrt(N)，故高精度代價昂貴；該方法受維度詛咒之苦——在高維狀態空間中所需粒子數可能指數成長，因為重要性權重會退化（單一粒子主導），除非 N 極大。重抽樣治癒權重退化卻引入樣本貧化（多樣性流失、粒子重複），而額外的移動步（重抽樣-移動、正規化）試圖緩解之。所以粒子濾波是強大、漸近正確、但有限樣本下有雜訊的逼近——並非精確濾波器，也不是高維問題的免費通行證。