扎凱方程與庫許納-斯特拉托諾維奇方程（Zakai and Kushner-Stratonovich equations）
/ zah-KYE; KOOSH-ner strah-toh-NOH-vich /
當訊號或觀測為非線性、或雜訊非高斯時，隱藏狀態的條件分布不再是由均值與共變數概括的高斯——它是一個必須自身被傳播的完整機率測度。扎凱方程與庫許納-斯特拉托諾維奇方程正是這個條件分布所服從的精確隨機偏微分方程。它們是非線性濾波的嚴格核心：精確地說出當每個新的有雜訊觀測到來時，你對隱藏狀態的信念應如何演化，把卡爾曼-布西濾波推廣到任意（馬可夫）訊號。
設訊號 dX_t = b(X_t) dt + sigma(X_t) dW_t，生成元為 L，透過 dY_t = h(X_t) dt + dV_t 被觀測。庫許納-斯特拉托諾維奇方程支配正規化的條件密度（或測度）pi_t，即 pi_t(f) = E[ f(X_t) given F^Y_t ]：d pi_t(f) = pi_t(L f) dt + ( pi_t(h f) - pi_t(h) pi_t(f) ) ( dY_t - pi_t(h) dt )。第一項是預測（訊號自身的動態透過 L 把信念往前推），第二項是由創新 dY_t - pi_t(h) dt 所做的修正；關鍵是該修正對 pi_t 為非線性（含乘積 pi_t(h)pi_t(f)），這正是「沒有任何有限動差集能閉合、非線性濾波之所以困難」的原因。扎凱方程是個巧妙的線性化：它支配一個未正規化密度 rho_t（與 pi_t 透過移除觀測漂移的測度變換相關），d rho_t(f) = rho_t(L f) dt + rho_t(h f) dY_t。此方程對 rho_t 線性，遠易於分析與離散化；最後由正規化還原 pi_t，pi_t(f) = rho_t(f)/rho_t(1)。
這些方程是卡爾曼濾波精確的無窮維推廣——並揭示濾波為何困難：條件分布一般是無窮維物件，故濾波器是一個隨機偏微分方程，而非有限的常微分方程系統。卡爾曼-布西濾波是只有在一切線性高斯時才發生的、特殊的有限維塌縮（貝內什濾波是極少數其他精確有限維情形之一）。誠實的提醒：這些是由觀測驅動的真正隨機偏微分方程，除了線性高斯與少數貝內什型模型外，它們沒有封閉解、也沒有有限維充分統計量——這正是粒子濾波等以一群加權樣本逼近 rho_t 或 pi_t 之數值方法的全部動機。此外，推導用到創新法／吉爾薩諾夫測度變換（卡利安普-斯特里貝爾公式），扎凱隨機偏微分方程的適定性需要 b, sigma, h 的正則條件。
追蹤只觀測到方位角（一個角度）的目標，dY = arctan(位置) dt + 雜訊——典型的非線性觀測。條件密度可能變成雙峰（目標可能在任一側），故均值加共變數的概括不足。扎凱方程精確地傳播完整的未正規化密度；實務上你把它離散化於格點上、或用粒子濾波逼近，再正規化以讀出估計。
非線性觀測使信念變多峰——只有完整條件密度（扎凱／KS）、而非高斯，才能捕捉它。
庫許納-斯特拉托諾維奇方程是非線性的（故無封閉的動差遞迴）；扎凱方程藉去除正規化把它線性化。除線性高斯與貝內什模型外不存在有限維濾波器——正是這個無窮維性使粒子方法應運而生。