吉爾薩諾夫定理（Girsanov theorem）
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吉爾薩諾夫定理告訴你：當你重新加權機率測度時，布朗運動——因而擴散——的分布如何改變。最重要的事實是，你可以藉切換到一個等價測度為布朗運動「加上」漂移，反之也可以同樣方式「移除」漂移。它回答的實務問題是：給定一個帶某漂移的過程，我能否找到一個等價機率，使它在其下帶不同（常較簡單）的漂移，而擴散部分不變？答案是肯定的，配方是一個顯式的拉東-尼科迪姆密度。
精確地說，設 B_t 在 P 下是布朗運動，theta_t 是適應過程。定義隨機指數 Z_t = exp( integral_0^t theta_s dB_s - (1/2) integral_0^t |theta_s|^2 ds )，它是局部鞅（Doleans-Dade 指數）。若 Z 是真鞅且 E[Z_T] = 1——例如由諾維科夫條件 E[ exp((1/2) integral_0^T |theta_s|^2 ds) ] < infinity 保證——則 dQ = Z_T dP 在 F_T 上定義一個與 P 等價的機率測度 Q，且在 Q 下過程 B-tilde_t = B_t - integral_0^t theta_s ds 是布朗運動。對 SDE 來讀：若在 P 下 dX = b(X) dt + sigma(X) dB，則選 theta 以吸收漂移變化後，在 Q 下同一 X 滿足 dX = b-new(X) dt + sigma(X) dB-tilde，擴散 sigma 不變、漂移為新的。擴散係數在測度變換下不變；只有漂移會動。這正是兩個僅在（合適的）漂移上不同的 SDE 互為絕對連續的原因。
吉爾薩諾夫無所不在：它是風險中性定價的引擎（移除真實世界漂移、代之以無風險利率，得到等價鞅測度）、是擴散的概似比統計與假設檢定、是重要性抽樣、是 SDE 的弱存在（藉傾斜掉一個棘手漂移來建弱解）、以及隨機控制與濾波的引擎。誠實、不可丟棄的假設：Z 必須是真鞅而不只是局部鞅——若 E[Z_T] < 1（嚴格局部鞅），建構失敗，你得不到機率測度；你要檢查的是諾維科夫（或較弱的 Kazamaki）條件。而且只有等價的測度變換可用：你可以改漂移，但不能改擴散係數（那會改變二次變差，而二次變差是路徑可測的，故在任何等價測度下相同），也不能創造或消滅正機率的事件。
把帶漂移的布朗運動變成無漂移的：若在 P 下 dX = mu dt + dB，取 theta = -mu 使 Z_T = exp(-mu B_T - mu^2 T/2)。諾維科夫成立（mu 為常數），在 dQ = Z_T dP 下過程 X_t = mu t + B_t 是 Q-布朗運動。在金融中這就是從真實世界測度轉到風險中性測度的步驟。
一行的吉爾薩諾夫：用隨機指數重新加權可把漂移轉成零（或反之）。
密度 Z 必須是真鞅（E[Z_T] = 1）；若它只是嚴格局部鞅（E[Z_T] < 1），你得不到機率，吉爾薩諾夫失效——請檢查諾維科夫條件。你可以改漂移但永遠改不了擴散係數：二次變差在等價測度下不變。