卡爾曼-布西濾波（Kalman-Bucy filter）
/ KAL-mun BYOO-see /
濾波是「在觀測陸續到來時、從有雜訊的部分觀測估計隱藏訊號」的問題——即時進行，用上至今所見之一切、但不用任何未來資訊。你有一個無法直接看見的訊號 X_t，以及一個是 X 之受損、被雜訊模糊化函數的觀測過程 Y_t；濾波問題是計算給定觀測歷史 F^Y_t 下 X_t 的條件分布，尤其是最佳估計（條件均值）X-hat_t = E[ X_t given F^Y_t ]。卡爾曼-布西濾波是線性高斯情形下完整的封閉解，也是全應用數學中最常用的演算法之一——用於導航、追蹤、訊號處理與經濟學。
設定是線性高斯狀態空間模型：訊號 dX_t = A X_t dt + C dW_t，觀測 dY_t = H X_t dt + D dV_t，其中 W, V 為獨立布朗運動（高斯雜訊）。因為一切線性且高斯，X_t 的條件分布永遠保持高斯，故只由兩個量完全描述：條件均值 X-hat_t 與條件共變數 P_t。它們依封閉形式方程演化。均值服從 dX-hat_t = A X-hat_t dt + K_t ( dY_t - H X-hat_t dt )，其中 K_t = P_t H^T (D D^T)^{-1} 是卡爾曼增益，括號 dY_t - H X-hat_t dt 是創新——新觀測中未被當前估計預測到的部分。共變數服從一個確定性的矩陣黎卡提方程，dP_t/dt = A P_t + P_t A^T + C C^T - P_t H^T (D D^T)^{-1} H P_t。注意 P_t 不依賴觀測——不確定性的演化可離線預先算出；只有均值由資料更新。
此濾波器精確且最佳：在線性高斯世界裡，X-hat_t 確實同時是條件期望、最小均方誤差估計與條件眾數——毫無近似。其結構（透過創新做預測-修正、黎卡提共變數）與 LQG 控制黎卡提方程的對偶性深刻而優美；連同確定性等價，它們給出部分觀測下線性高斯控制的完整解。誠實的提醒：在所有估計器（不只線性者）中最佳，需要高斯假設——若無此假設，卡爾曼-布西濾波仍是最佳線性估計器，但不再是條件期望；對非線性或非高斯模型，條件分布並非有限維，必須轉向 Zakai／Kushner-Stratonovich 方程或粒子濾波。延伸卡爾曼濾波（把非線性模型線性化）是啟發式而非精確，且可能發散。
追蹤汽車的 GPS 接收器：隱藏狀態 X 是位置與速度（依牛頓定律加隨機加速度演化），觀測 Y 是有雜訊的 GPS 定位。卡爾曼增益 K_t 融合預測與量測：當 GPS 精確時 K 大，估計信任新定位；在隧道中（量測雜訊極大）K 縮小，估計靠運動模型滑行。共變數 P_t 量化濾波器在每一瞬間有多確定。
卡爾曼增益依模型與量測各自的雜訊自動加權兩者——濾波器的核心訣竅。
在所有估計器中最佳需要高斯假設；若無此假設，卡爾曼-布西濾波只是最佳線性估計器，而非條件期望。對非線性模型它並不精確——應用 Zakai／Kushner-Stratonovich 或粒子濾波，而非（啟發式、易發散的）延伸卡爾曼濾波。