線性二次高斯調節器（linear-quadratic-Gaussian regulator）

線性二次高斯（LQG）調節器是唯一能完全且漂亮地以封閉形式求解的控制問題——也因此它是工程控制的主力、以及衡量其他一切的範本。其成分為：線性動態 dX_t = (A X_t + B u_t) dt + sigma dB_t（狀態 X、控制 u、高斯雜訊 B）；二次成本 J = E[ integral_0^T ( X_t^T Q X_t + u_t^T R u_t ) dt + X_T^T M X_T ]，其中 Q, M 非負而 R 正定；以及高斯雜訊。目標是把狀態維持在零附近（Q 項懲罰偏離）而不花太多控制力（R 項懲罰行動）——即一個調節器。

其解即著名的線性回饋加黎卡提方程。價值函數恰為二次的，V(t,x) = x^T P(t) x + c(t)，其中對稱矩陣 P(t) 解矩陣黎卡提微分方程 -P' = A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q，終端條件 P(T) = M；而偏移 c(t) 透過 c'(t) = -trace( sigma sigma^T P(t) ) 吸收雜訊。最佳控制是線性狀態回饋 u*_t = -R^{-1} B^T P(t) X_t——一個增益矩陣乘上當前狀態。一個驚人而真正深刻的事實——確定性等價（分離）原理——支配部分觀測情形：若你只能看到 X 的有雜訊線性觀測，最佳控制器是先跑卡爾曼-布西濾波得出最佳估計 X-hat_t，再對該估計施加同一個回饋增益，u*_t = -R^{-1} B^T P(t) X-hat_t。估計與控制乾淨地分離——最佳控制律不會只因你對狀態不確定就改變。

LQG 重要，因為它可精確求解、可擴展到高維（你解的是矩陣 ODE／代數方程而非偏微分方程），且它是非線性控制在工作點附近的局部逼近——這正是真實自動駕駛、機器人控制器與製程調節器建立於其上的原因。誠實的提醒：封閉形式關鍵地依賴結構——成本必須二次、動態必須線性；一旦出現依賴控制的雜訊、狀態約束或非二次成本，魔法就結束，你又回到完整的 HJB 方程。無窮視界版本要求 (A,B) 可鎮定、(Q^{1/2}, A) 可偵測，代數黎卡提方程才有鎮定解。而確定性等價是線性二次高斯結構所獨有的——它不是一般原理；對非 LQG 問題，估計與控制不分離，控制器必須考量其行動如何影響未來資訊（對偶控制／探索-利用問題）。