歐拉-丸山方法（Euler-Maruyama scheme）
/ OY-ler mah-roo-YAH-mah /
歐拉-丸山方法是模擬 SDE 解最簡單的數值方法——ODE 顯式歐拉法的直接隨機對應物。由於幾乎沒有 SDE 能閉式求解，模擬正是擴散在實務中被使用的方式（蒙地卡羅定價、粒子濾波、抽樣），而歐拉-丸山是預設的首選工具。它回答：我要如何在電腦上產生 dX = b(X) dt + sigma(X) dB 的近似路徑？
把時間離散成步長 h = T/N，格點 t_n = n h。從已知的 X_0 出發，遞迴是 X_{n+1} = X_n + b(X_n) h + sigma(X_n) Delta B_n，其中 Delta B_n = B_{t_{n+1}} - B_{t_n} 是布朗增量——獨立的 N(0, h) 高斯，易於模擬。故每步加上區間上的確定性漂移，再加上一個由 sigma 縮放的新高斯衝擊；注意雜訊增量按 sqrt(h) 而非 h 縮放，這是擴散的標誌。其準確度有兩種量法。強階衡量逐路徑準確度：E[ |X_T - X^h_T| ] = O(h^(1/2))，故歐拉-丸山的強階為 1/2——要把逐路徑誤差減半，步長須減為四分之一。弱階衡量分布的準確度：對光滑 g，|E[g(X_T)] - E[g(X^h_T)]| = O(h)，故弱階為 1。兩階之間的落差來自隨機積分項：歐拉-丸山在一步上凍結 sigma(X_n)，卻忽略 sigma 在該步內的變化，這在積分中是 h 階的誤差，正是米爾斯坦修正所修補的。
歐拉-丸山是主力，正因為它編碼極簡且只需一個布朗運動的增量。誠實的警告很重要。其強階僅為 1/2（比 ODE 歐拉的 1 階差）是因為雜訊；若需逐路徑準確度請用米爾斯坦（強階 1）。計算期望時要緊的是弱階 1，歐拉在此具競爭力。此方法可能數值不穩定或違反過程的定義域：對 CIR／貝索平方根擴散，樸素的歐拉步可能把平方根的引數逼成負，故須修改（完全截斷、反射，或隱式／專門方法）。而收斂階要求係數足夠光滑（具有界導數的李普希茨）；對非李普希茨或超線性係數，標準歐拉-丸山甚至可能發散，須用馴化（tamed）或隱式變體。
要以步長 h 模擬幾何布朗運動 dX = mu X dt + sigma X dB，抽 Z_n ~ N(0,1) 並迭代 X_{n+1} = X_n + mu X_n h + sigma X_n sqrt(h) Z_n。相對於精確解 X_T = X_0 exp((mu - sigma^2/2)T + sigma B_T)，逐路徑誤差按 sqrt(h) 縮小（強階 1/2），而 E[X_T] 的誤差按 h 縮小（弱階 1）。
GBM 的歐拉-丸山：強階 1/2（逐路徑）、弱階 1（分布）。
強階只有 1/2 是因為雜訊——別期待逐路徑準確度能達到 ODE-歐拉的 1 階。所述的階需要光滑（李普希茨、導數有界）的係數；對非李普希茨或超線性係數，純歐拉-丸山可能發散，須用馴化／隱式變體，而 CIR 需要保正性的修正。