考克斯-英格索-羅斯過程（Cox-Ingersoll-Ross process）
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考克斯-英格索-羅斯（CIR）過程是一個均值回歸擴散，與 OU 過程不同，它保持非負——使其成為「不得低於零之量」的標準模型，最重要的是利率與隨機變異數。它回答的建模需求是：我想要像 OU 過程那樣的均值回歸，但不能容忍負值。其訣竅是讓雜訊在過程趨近零時消失，做法是把狀態的平方根放進擴散係數。
它解 SDE dX_t = a(b - X_t) dt + sigma sqrt(X_t) dB_t，回歸速度 a > 0、長期均值 b > 0、波動率 sigma。漂移 a(b - X) 與 OU 過程同為均值回歸形式，但擴散 sigma sqrt(X) 在 X -> 0 時縮為零，故在邊界附近確定性漂移（X 小時為正）佔主導、把過程推回上方。平方根擴散在 0 處非李普希茨，故基本存在定理不能直接適用；雅馬達-渡邊平方根條件（|sqrt(x) - sqrt(y)| <= sqrt(|x-y|)）給出逐路徑唯一性，且存在非負解。在 0 處的邊界行為由費勒條件支配：若 2ab >= sigma^2，過程永不到達 0（幾乎必然保持嚴格正），而若 2ab < sigma^2，它會觸及 0（在標準表述中反射）。其轉移密度是非中心卡方分布，平穩分布是伽瑪分布。CIR 過程在縮放意義下是受均值回歸的平方貝索過程。
CIR 是數理金融的基石：CIR 短期利率模型，以及作為 Heston 模型的變異數過程、隨機波動率的主力。其解析易處理性（仿射期限結構、債券與選擇權變換有閉式）加上非負性，使它極為有用。誠實的警告：若你需要嚴格正的過程，費勒條件 2ab >= sigma^2 不能丟棄——當它失效時過程會擊中零，這對建模（變異數可能恰好為零）與數值（樸素的歐拉-丸山可能在平方根下產生負值，必須修改，例如完全截斷或 Andersen QE 方法）都有影響。而平方根係數正是臨界的非李普希茨情形，此處標準 SDE 理論必須由雅馬達-渡邊的精細化取代。
在 Heston 隨機波動率模型中，瞬時變異數 v_t 服從 CIR 過程 dv_t = kappa(theta - v_t) dt + xi sqrt(v_t) dW_t。若費勒條件 2 kappa theta >= xi^2 成立，變異數保持嚴格正；若失效，v_t 可能擊中零，模擬方法必須謹慎選擇以避免負變異數。
CIR 作為 Heston 變異數過程：非負、均值回歸，但費勒條件失效時可觸及零。
非負性是自動的，但嚴格正需費勒條件 2ab >= sigma^2；低於它過程會擊中零。平方根擴散非李普希茨，故存在唯一性仰賴雅馬達-渡邊，且樸素的歐拉-丸山可能變負、必須修改。