隨機波動率與利率模型（stochastic-volatility and interest-rate models）

布萊克-休斯模型假設波動率是已知常數、利率固定——這兩個假設市場明顯地違反。隨機波動率與利率模型是下一層的真實性：它們讓波動率、以及利率本身，成為有其自身動態的隨機過程。它們正是實務者在「選擇權價格顯露波動率微笑（隱含波動率隨履約價變化）、不同到期日的債券一起變動卻不全然相同（一條會擺動的期限結構）」之市場中、實際用來定價與避險的工具。

隨機波動率把變異數變成第二條 SDE。海斯頓模型是典型例子：資產服從 dS_t = mu S_t dt + sqrt(v_t) S_t dB^1_t，而變異數 v_t 服從均值回歸的平方根（CIR）過程 dv_t = kappa (theta - v_t) dt + xi sqrt(v_t) dB^2_t，兩個布朗運動相關（相關係數 rho，通常為負——槓桿效應，價格下跌伴隨波動率上升）。因為現在有兩個風險來源（價格與波動率）但波動率不可直接交易，市場是不完備的：沒有唯一的風險中性測度，只有一族以波動率風險的市場價格為指標者，須校準到觀測到的選擇權價格、而非推導得出。利率模型把短率 r_t 變成過程。短率模型包括瓦西塞克，dr_t = a(b - r_t) dt + sigma dB_t（均值回歸、高斯，但允許負利率），與考克斯-英格索-羅斯（CIR），dr_t = a(b - r_t) dt + sigma sqrt(r_t) dB_t（平方根，當費勒條件 2ab >= sigma^2 成立時保持利率非負）。整條殖利率曲線遂為 P(t,T) = E^Q[ exp(- integral_t^T r_s ds) given F_t ]，一個費曼-卡茨表達式；希斯-賈羅-莫頓框架則改為直接建模整條遠期利率曲線，並以一個無套利漂移條件把遠期利率的漂移與其波動率相連。

這些模型之所以重要，在於它們能擬合布萊克-休斯所不能的市場資料：微笑、波動率的期限結構、利率與其波動率間的相關。海斯頓備受推崇，因其特徵函數有封閉形式，故選擇權價格可由傅立葉反演求得。實務者必須尊重的誠實提醒：不完備是其決定性特徵、而非技術細節——波動率（或跳躍、或利率）風險不可交易，完美複製便失敗，定價需要一個選定的鞅測度（一個校準的風險溢酬），避險也只是近似。CIR 利率過程需費勒條件 2ab >= sigma^2 才保持嚴格為正；瓦西塞克可能變負（有時是特性、有時是缺陷）。而校準是個可能不適定的反問題——許多參數組擬合同一批選擇權價格，故模型風險（價格隨你選的模型而變）是真實的，必須管理、不可假裝不存在。