貝索過程（Bessel process）
/ BESS-ell /
貝索過程是多維布朗運動到原點的距離——或者更一般地，是把那個「維度」允許取任意實數（不只整數）後所得的擴散。它回答一個非常具體的問題：若一個粒子在 d 維空間中擴散，它的半徑 |B_t| 自身如何表現？這個半徑本身是一維擴散，直接研究它能揭示布朗運動的深刻事實：常返與暫態、點的極性，以及原點附近的行為。
對整數維度 d，d 維貝索過程記作 BES(d)，是 R_t = |B_t|，其中 B_t 是 d 維布朗運動。對歐氏範數套用伊藤公式可知 R_t 解 SDE dR_t = ((d-1)/(2 R_t)) dt + dW_t（W 為一維布朗運動，遠離 0 處成立）。漂移 (d-1)/(2R) 是隨維度增大而增大的、對原點的排斥；正是這單一係數使過程隨 d 增大而越來越暫態。然後對任意實數 d >= 0，以同一 SDE（或經由其平方，即平方貝索過程 BESQ(d)，dY = d dt + 2 sqrt(Y) dW，後者良定義且對 d 可加）來定義 BES(d)。關鍵的二分：d >= 2 時原點是極性的——自非 0 起始的過程永不擊中 0——而 0 <= d < 2 時它會到達 0（且邊界行為，吸收或反射，須加以指定）。在 d = 2 過程鄰域常返卻從不真正擊中點 0；d >= 3 時它暫態（R_t -> infinity）。
貝索過程是布朗運動精細結構的自然語言，無處不在：布朗運動的徑向部分解釋了為何平面布朗運動鄰域常返卻不擊中點（d=2 極性）、為何空間布朗運動暫態（d>=3）；BES(3) 著名地是「被條件化為保持正值的布朗運動」，出現在雷-奈特定理與布朗局部時的研究中；平方貝索族正是 CIR 過程那個無回歸的表親，CIR 是均值回歸的、經時間變換的平方貝索。誠實的微妙之處：SDE 形式在 0 處有奇異漂移，故方程只在遠離原點處字面成立，0 處行為須另行處理（平方貝索表述在那裡較乾淨）；而「維度」d 是連續參數——非整數貝索過程是完全合格的擴散，即使沒有 R^d 可供取範數。
平面布朗運動（d = 2）給出 BES(2) 徑向過程 dR = (1/(2R)) dt + dW。排斥漂移恰好強到使過程永不擊中 0（平面中點是極性的），卻又弱到使它不斷返回原點的每個鄰域——鄰域常返。把維度提到 3，較強的漂移 (1/R) 使 R_t -> infinity：空間布朗運動是暫態的。
徑向過程編碼了布朗常返／暫態：d=2 鄰域常返、d>=3 暫態、d>=2 點為極性。
SDE 漂移 (d-1)/(2R) 在 0 處奇異，故方程只在遠離原點處成立；0 處行為（以及 d < 2、會到達 0 時的存在性）需要平方貝索表述或明確的邊界條件。維度 d 可為任意非負實數，不限於整數。