Ray-Knight 定理（Ray-Knight theorems）
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固定一條布朗路徑，把它的局部時 L_t^a 不看作時間 t 的函數，而看作「水平」a 的函數——剖面 a -> L_t^a 記錄路徑在每個高度附近所花的時間。Ray-Knight 定理給出驚人的陳述：這個隨機剖面，作為空間變數 a 的過程，本身是一個可辨認的擴散：一個平方貝索過程。它們把關於布朗局部時的問題，轉化為關於平方貝索過程的乾淨陳述。
兩個典型版本。第一 Ray-Knight：在 tau_1 = inf{ t : B_t = 1 }（首次擊中水平 1，B_0 = 0）停止。那麼局部時剖面 a -> L_(tau_1)^a，當 a 從 1 降到 0 時，是一個從 0 出發、維度 2 的平方貝索過程（BESQ(2)）；在 0 以下延續，對 a < 0 它是 BESQ(0)（在 0 處被吸收）。第二 Ray-Knight：在反局部時 tau_l = inf{ t : L_t^0 > l }（0 處局部時首次超過 l 時）停止。那麼 a -> L_(tau_l)^a，對 a >= 0，是一個從 l 出發的 BESQ(0)，在擊中 0 時被吸收。維度 delta 的平方貝索過程解 dZ = delta dt + 2 sqrt(Z) dB，且是 delta 維布朗運動徑向部分的平方（對整數 delta）；從 delta 維徑向運動到局部時剖面的變數變換，正是這些定理的內涵，可透過漂程理論或平方貝索律的可加性來證明。
重要性：Ray-Knight 定理是局部時與貝索過程之間的精確字典，且是艱難計算的引擎——總局部時的分布、局部時的上確界、以及與隨機樹的深刻連結（透過 布朗漂程 = 正規化 BESQ）、與連續隨機樹（CRT）、以及與高斯自由場的連結（Dynkin 同構，其中局部時的平方與高斯場的平方配對）。誠實的提醒：這些是關於「特定」停止規則（擊中某水平，或反局部時）的定理，而平方貝索過程的維度隨規則與區域而變（起點之上為 2，之下為 0）；不附上確切停時與維度記帳就引用「局部時是平方貝索」是沒有意義的。它們需要強馬可夫性與前述已建立的局部時連續性。
讓布朗運動從 0 出發直到首次擊中 1。對 0 與 1 之間每個高度 a，畫出路徑在 a 附近所花的總時間。第一 Ray-Knight 定理說這張圖是一個 BESQ(2) 樣本——恰好是沿高度軸讀取的 2 維布朗運動長度的平方。
沿「水平」（而非時間）讀取的局部時是一個平方貝索過程——維度取決於停止規則與區域。
平方貝索的維度並非普適：它取決於確切的停時（擊中某水平 vs 反局部時）以及你在起點之上或之下；二者都要說明，否則定理是空的。