占據時間公式（occupation-time formula）

占據時間公式是讓局部時變得有用的變數變換恒等式：它讓你能把布朗路徑任何函數的「時間積分」計算成對局部時的「空間積分」。你不再沿（粗糙、無參數化的）軌跡積分，而是對水平積分，將每個水平 a 以路徑在該處累積的局部時 L_t^a 加權。

陳述為：對每個有界（或非負）可測函數 f，幾乎必然地，integral over [0,t] of f(B_s) ds = integral over R of f(a) L_t^a da。左邊沿時鐘累加 f(B_s)；右邊把同樣的總和按路徑所在的水平重新排序，局部時 L_t^a 充當占據測度 mu_t(A) = Leb{ s <= t : B_s in A } 相對於勒貝格測度 da 的密度（拉東-尼科迪姆導數）。一行寫成 mu_t(da) = L_t^a da。此公式逐字推廣到任何具連續局部時 L_t^a(X) 的連續半鞅 X，只需把 da 換成二次變差微分：integral over [0,t] of f(X_s) d<X>_s = integral over R of f(a) L_t^a(X) da。（對布朗運動 d<B>_s = ds，回收乾淨的版本。）

重要性：這是田中公式以及把伊藤公式推廣到凸（非 C^2）函數的伊藤-田中公式背後的主力，也是顯式計算加法泛函（如 integral f(B_s) ds）的依靠，更是聯合連續局部時「存在性」本身的基礎（此公式加上占據測度的平滑性是證明的一條途徑）。誠實的內涵：布朗運動的占據測度相對於勒貝格測度絕對連續——這是定理而非瑣事，正因如此密度（局部時）才存在。對占據測度奇異（無密度）的過程，不存在局部時且公式失效；對一般半鞅，d<X>_s 因子不可省略。