隨機微分方程（stochastic differential equation）
隨機微分方程（SDE）是描述隨機過程 X_t 演化的方程，其驅動力一部分來自光滑的確定性力，一部分來自雜訊。標準的一維形式是 dX_t = b(X_t) dt + sigma(X_t) dB_t，其中 B_t 是布朗運動。讀作：在無窮小時間 dt 內，過程移動一個確定量 b(X_t) dt（漂移項）加上一個隨機量 sigma(X_t) dB_t（擴散項）。它是任何「平均上服從常微分方程、卻不斷受隨機擾動衝擊」之系統的首選模型：股價、有雜訊的電路、流體中的粒子、受環境隨機性影響的族群。
SDE 並不是古典意義下的微分方程，因為布朗路徑處處不可微，故 dB_t/dt 不存在。其意義由積分形式給定：X_t = X_0 + integral_0^t b(X_s) ds + integral_0^t sigma(X_s) dB_s，其中第二個積分是伊藤隨機積分（在隨機積分領域中建構）。d 維版本中 X_t 取值於 R^d，向量漂移 b: R^d -> R^d，矩陣擴散 sigma: R^d -> R^(d x m)，B_t 為 m 維布朗運動。解 X_t 是其增量由 b 與 sigma 描述的過程；對它做微積分要用伊藤公式，其中 (dB_t)^2 = dt 這條規則會多出一個古典微積分所沒有的二階項。
SDE 位於分析與機率的交會點：每個適定的 SDE 定義一個擴散過程，即具連續路徑、其生成元為二階橢圓算子的強馬可夫過程，並透過該算子與熱型偏微分方程（科爾莫戈洛夫後向方程、福克-普朗克前向方程、費曼-卡茨公式）相連。一個關鍵的誠實之處：解有兩種真正不同的概念。強解建立在給定的布朗運動上，是該雜訊的函數；弱解則同時建構雜訊與過程，只確定其分布。兩者未必相同，存在唯一性定理必須說明指的是哪一種。此外，漂移與擴散的拆分依賴慣例：同一過程寫成伊藤型 SDE 或斯特拉托諾維奇型 SDE 時，漂移會不同。
最簡單的非平凡 SDE 是幾何布朗運動，dX_t = mu X_t dt + sigma X_t dB_t。此處漂移 mu X_t 與擴散 sigma X_t 都隨 X_t 等比例變化，故受雜訊驅動的是百分比變化量。對 log X_t 套用伊藤公式可解得 X_t = X_0 exp((mu - sigma^2/2) t + sigma B_t)；注意那個 -sigma^2/2 的修正項，古典微積分會漏掉它。
幾何布朗運動：布萊克-休斯模型背後的過程，也是伊藤修正項最乾淨的範例。
SDE 只有作為積分方程時才有意義；微分記法 dX = b dt + sigma dB 是簡寫，因為 dB_t/dt 並不存在。而且你必須說明用的是哪種積分慣例（伊藤或斯特拉托諾維奇）——答案會隨之改變。