米爾斯坦方法（Milstein scheme）
/ MIL-shtine /
米爾斯坦方法是歐拉-丸山的進階版：一個為 SDE 設計的數值方法，加上一個修正項以恢復完整的強階 1，與確定性歐拉法的逐路徑準確度看齊。它回答了歐拉-丸山留下的問題：那遺失的半階逐路徑準確度去哪了，又該如何取回？答案是歐拉忽略了擴散係數 sigma 在一步內如何變化，而米爾斯坦藉伊藤公式恰好把那份貢獻放回去。
對純量 SDE dX = b(X) dt + sigma(X) dB，米爾斯坦遞迴是 X_{n+1} = X_n + b(X_n) h + sigma(X_n) Delta B_n + (1/2) sigma(X_n) sigma'(X_n) ( (Delta B_n)^2 - h )，其中 sigma' 是擴散係數的導數，Delta B_n ~ N(0, h)。新項來自把 sigma(X_s) 在該步上做伊藤展開：sigma(X_s) 約等於 sigma(X_n) + sigma'(X_n)(X_s - X_n)，把 X_s - X_n 的領導隨機部分對 dB 積分，產生迭代伊藤積分 integral integral dB dB = ((Delta B)^2 - h)/2——而那個 -h 的出現又是 (dB)^2 = dt 規則。因為這捕捉了 sigma 在步內的變化，強階提升到 1：E[ |X_T - X^h_T| ] = O(h)。弱階仍為 1，與歐拉-丸山相同，故米爾斯坦的好處完全在逐路徑準確度上；若你只需期望，歐拉已是弱階 1，米爾斯坦在那裡不給漸近改進。
當你需要準確的樣本路徑時——逐路徑泛函、路徑依賴選擇權、沿軌跡的敏感度——米爾斯坦是首選方法。兩個誠實的警告突出。第一，米爾斯坦需要擴散係數的導數 sigma'，故它比歐拉要求更高的光滑性，當 sigma 只是李普希茨或以黑箱給出時很棘手（那時用歐拉，或免導數的 Runge-Kutta 型變體）。第二，也很重要，上述簡單閉式僅限一維與可交換雜訊。在一般多維情形，修正涉及迭代隨機積分 integral integral dB^i dB^j（李維面積），它們不是增量的簡單函數，除非擴散各行滿足可交換條件，否則模擬成本高昂——這是多維中達到高強階的真正障礙。
對於幾何布朗運動 sigma(x) = sigma x 故 sigma'(x) = sigma，米爾斯坦步為 X_{n+1} = X_n + mu X_n h + sigma X_n Delta B_n + (1/2) sigma^2 X_n ((Delta B_n)^2 - h)。這個額外項把強階由 1/2（歐拉-丸山）提升到 1，步長減半時逐路徑誤差也減半，而弱階仍為 1。
GBM 的米爾斯坦：(Delta B)^2 - h 修正項把強階由 1/2 提升到 1。
米爾斯坦只把強（逐路徑）階提升到 1；弱階仍為 1，故對純期望計算相較歐拉-丸山無優勢。乾淨公式是一維的；在高維中它需要迭代積分（李維面積），除非雜訊可交換否則難以模擬，且它需要導數 sigma'。