冪法與反冪法

冪法是最基本的特徵值演算法，其思想只有一句：不斷用 A 乘一個向量並歸一化。從幾乎任意的 v_0 出發，作 v_{k+1} = A v_k / ||A v_k||。把 v_0 寫在特徵向量基下；每次乘 A 都把沿特徵值 lambda_i 的分量按 lambda_i 伸縮，故 |lambda| 最大的那個分量增長最快並最終占主導。向量收斂到主特徵向量；瑞利商 v^T A v / v^T v 收斂到它的特徵值。

收斂是線性的，由次大與最大特徵值之比 |lambda_2| / |lambda_1| 支配。大的譜隙意味著快速收斂；量級幾乎相等的特徵值意味著痛苦的爬行，而占主導的一對共軛複特徵值會讓它徹底停滯。該法只給你一個特徵對——主特徵對——這有時正是你想要的（谷歌最初的 PageRank 本質上就是對網頁連結矩陣作冪迭代）。

反冪法把這個把戲翻轉過來以瞄準其他特徵值。把冪法施於 (A - mu I)^-1 而非 A。該逆的特徵值是 1/(lambda_i - mu)，故 A 中最接近位移 mu 的特徵值成為該逆的主特徵值——反冪法便向它聚焦。每步求解一個以 A - mu I 為係數的線性系統，而非作乘法；把 mu 取在一個已知的近似特徵值附近，收斂就快。

瑞利商迭代把這推向極致：每次反冪迭代步後，把位移 mu 更新為當前瑞利商。位移追逐著特徵值，對對稱矩陣，收斂變為三次——每步大致使正確數字翻三倍。這些位移並求逆的思想正是帶位移 QR 演算法的概念種子。