馬克士威關係式（Maxwell relations）
有些熱力學量很好量——固定體積加熱時壓力如何變——但另一些幾乎無法直接掌握，例如擠壓一種物質時它的熵如何改變。馬克士威關係式（Maxwell relations）是一組精確等式，讓你把「辦不到的」換成「辦得到的」。它們源自一個簡單的數學事實：對於光滑函數，取兩次偏微分的順序無關緊要。
每個熱力學勢都是恰當微分（exact differential），故其混合二階偏導相等。由 dU = T dS - p dV 得 (dT/dV)_S = -(dp/dS)_V；由亥姆霍茲自由能 dF = -S dT - p dV 得 (dS/dV)_T = (dp/dT)_V；由吉布斯自由能 dG = -S dT + V dp 得 (dS/dp)_T = -(dV/dT)_p；由 dH = T dS + V dp 得 (dT/dp)_S = (dV/dS)_p。每一式中，難測的熵導數都等於易測的力學導數。
這些關係是熱力學的日常機器：讓你由量得的狀態方程算出熵變、把 C_p 與 C_v 相連、並推導克勞修斯-克拉佩龍方程式。注意：它們只在勢為光滑（二次可微）之處成立；在一級相變處，勢有折角，這些關係可能跨越邊界而失效。
假設你想知道壓縮氣體時的等溫熵變 (dS/dp)_T，這是沒有溫度計能直接讀出的。吉布斯型馬克士威關係說它等於 -(dV/dT)_p，即熱膨脹——用尺與溫度計就能輕鬆量得。對理想氣體 V = N k_B T / p，故 (dV/dT)_p = N k_B / p，於是 (dS/dp)_T = -N k_B / p。
馬克士威關係把無法量測的熵導數換成例行的膨脹量測。
馬克士威關係純粹來自「勢是狀態函數的恰當微分」；它們是恆等式，對任何平衡物質皆成立、不需任何模型——但在勢不可微的相邊界處會失效。