測地線方程

當空間本身彎曲時，什麼才算「直線」？在地球儀上你畫不出真正的直線，但你能畫出最接近直的那一條：大圓，也就是飛機或一條拉緊的線自然沿走的路徑。這樣的曲線就是測地線。在廣義相對論中，一個自由落體的物體，除了重力之外不受任何力，就沿著彎曲時空的測地線滑行，因此繞著太陽公轉的行星所做的，不過就是沿著現有最直的路徑前進而已。

測地線方程為 d^2 x^a / dtau^2 + Gamma^a_bc (dx^b/dtau)(dx^c/dtau) = 0，其中 tau 是沿世界線的原時，Gamma^a_bc 是由度規建構出的克里斯多福符號。第一項是尋常的加速度；第二項是把座標與曲率一併算進去的修正項。等價地說，一條類時測地線使兩事件之間的原時取極值，而對粒子而言它其實是原時最長的路徑，這正是自由落體的時鐘會比加速的時鐘走過更多時間的深層原因。

這道方程取代了牛頓的「F = m a 加上重力」。式子裡沒有力項：重力已經完全被吸收進 Gamma 符號，也就是吸收進幾何裡了。它是等效原理的數學陳述，即自由落體是不受力的運動。一個誠實的提醒：光與其他無質量粒子也沿測地線前進，但沿它們的路徑原時為零（dtau = 0），因此你必須用一個仿射參數而非 tau 來為它們參數化。