度規張量（metric tensor）
兩個鄰近的點相距多遠？兩件鄰近的事件之間又經過多少時間？在一張平坦的紙上，畢氏定理給出 ds^2 = dx^2 + dy^2；但在彎曲的地球表面，或在恆星附近扭曲的時空中，這道配方會隨地點改變。度規張量就是儲存這道配方的場：在每一點，它告訴你如何把座標的差值換算成真實、物理的距離與時間。它是承載全部幾何的那一個數學物件。
它記為 g_ab（較舊的課本寫成 g_mu nu），是一個對稱的二階張量，在四維時空中有十個獨立分量。它定義了線元 ds^2 = g_ab dx^a dx^b，也就是對所有成對座標方向求和。在一塊夠小的區域內，它總能被化成平坦的閔可夫斯基形式 eta_ab = diag(-1, 1, 1, 1)，這正是用幾何語言講出來的等效原理。度規也負責升降指標，把一個逆變向量 V^a 變成它的協變夥伴 V_a = g_ab V^b，而它的逆 g^ab 滿足 g^ab g_bc = delta^a_c。
在廣義相對論中，度規就是重力場。其餘的一切，自由落體的路徑、曲率、潮汐，全都由 g_ab 及其導數建構出來，而愛因斯坦方程歸根究柢就是關於它十個分量的十條耦合方程。一個關鍵的提醒：座標只是任意的標籤，本身沒有物理意義。同一個物理幾何可以用無窮多種座標系寫出；承載物理的是度規，而非座標，因此凡是你能測量的量，都必須建構成不依賴於這套標籤的形式。
在半徑為 a 的球面上，表面度規為 ds^2 = a^2 (dtheta^2 + sin^2(theta) dphi^2)。那個 sin^2(theta) 因子，正是為什麼相隔同樣度數的經線會在兩極附近擠在一起。
度規的分量隨位置變化，而那個變化就是曲率。
度規隨位置變化，本身並不代表空間彎曲。平坦空間用極座標或球座標寫出來，度規分量也不是常數。真正的曲率住在由度規二階導數建構出的黎曼張量中，而不在分量表面上的樣子。