史瓦西度規（Schwarzschild metric）
/ SHVARTS-shilt /
愛因斯坦發表場方程後短短數月，卡爾·史瓦西在 1916 年於俄國前線服役期間，找到了它們的第一個精確解：一個球形、不自轉之單一質量外部的時空。它描述環繞太陽、地球或黑洞的幾何，只要源是球對稱、周圍是真空。它是幾乎每一項經典驗證、每一個教科書黑洞據以計算的主力。
在慣用座標中，線元為 ds^2 = -(1 - r_s/r) c^2 dt^2 + (1 - r_s/r)^(-1) dr^2 + r^2 (dtheta^2 + sin^2(theta) dphi^2)，其中 r_s = 2 G M / c^2 是由質量 M 決定的史瓦西半徑。在遠處（r 遠大於 r_s）它化為平坦的閔可夫斯基時空，這是理所當然的。當你逼近質量時，(1 - r_s/r) 這個因子使時鐘走得更慢，並拉長徑向距離。伯克霍夫定理保證這是唯一的球對稱真空解，因此只要一顆恆星保持球形，即使它脈動也不輻射重力波，而外部幾何依然精確地維持史瓦西形式。
這單一個度規驅動了水星的近日點進動、星光的偏折、重力紅移，以及整套不自轉黑洞的理論。一個關鍵的微妙處在於它兩個表面上的麻煩點。在 r = r_s 度規分量發散，但這只是一個座標奇異點，是所選座標造成的假象，換一套更好的座標圖就能乾淨地除去；那裡並沒有任何物理上的災難發生。相對地，在 r = 0 曲率本身發散：那是一個真正的、物理的奇異點，理論在那裡失效。
對太陽而言，r_s 約為 3 公里，與太陽實際 70 萬公里的半徑相比微不足道，因此在表面 (1 - r_s/r) 因子與 1 只差百萬分之幾。那個微小的偏離，卻已足以使星光偏折、並讓水星軌道進動到可以測量的程度。
對太陽而言微小，卻已足夠產生那些經典的驗證。
史瓦西座標 r 並不是到中心的距離；它的定義是使該 r 處的球面面積為 4 pi r^2。徑向距離被拉伸，因此往中心的固有距離比座標差所暗示的更大。把 r 讀成樸素的半徑，是初學者的一個典型陷阱。