玻色-愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation）

把一團玻色子氣體冷卻得夠低，會發生一件驚人的事：粒子不再稀疏地散布於眾多低能態，而是有相當大一部分——或許是數兆個原子——驟然湧入那單一的最低量子態，並表現得像一道巨大的同調物質波。這就是玻色-愛因斯坦凝聚，一場並非由粒子間任何作用力、而是純粹由量子統計所驅動的相變。用愛因斯坦的話說，這是「動量空間中的凝聚」。

此相變發生在熱德布羅意波長 lambda 增長到約等於粒子間距時，此時它們的波包重疊，不可分辨性變得無可避免。對理想玻色氣體，其條件為 n lambda^3 = 2.612...，這定義了臨界溫度 T_c = (2 pi hbar^2 / m k)(n / 2.612)^(2/3)。在 T_c 以下，化學勢被釘在基態能量（本質上 mu = 0），而激發態只能容納有限數目的粒子；超出此容量的每一個粒子都必須進入基態。對均勻理想氣體，凝聚比例隨 N_0/N = 1 - (T/T_c)^(3/2) 增長，在 T = 0 時達到 1。基態的宏觀佔據數即為此相變的序參量。

玻色-愛因斯坦凝聚是超流氦-4 的基礎（近似而言，因為那裡交互作用不可忽略），並於 1995 年在銣與鈉的稀薄原子氣體中被乾淨地實現，冷卻至十億分之一克耳文（2001 年諾貝爾獎）。兩個誠實的要點：BEC 即便對「非交互作用」的玻色子也會發生，這使它與需要吸引力的尋常氣-液凝聚截然不同；而對一維或二維的均勻理想玻色氣體，在任何有限溫度下都沒有凝聚——此現象取決於維度與陷阱的幾何。