完全數

有些數與自身的各部分恰成完美的平衡。把 6 的所有比它小的因數加起來 — 即 1、2、3 — 正好又得回 6。具備這種罕見自平衡的數，就稱為完全數。

嚴格地說，一個正整數若等於它的所有真因數之和（即除它本身以外的全部正因數），就是完全數。最前面的幾個是 6、28、496、8128。歐幾里得發現：每當 2^p − 1 是質數（這種質數稱為梅森質數）時，2^(p−1) 乘以 (2^p − 1) 就是完全數；歐拉後來證明，每個偶完全數都恰好是這種形狀。

其中許多問題至今真正未解，這也是它迷人之處。從未有人找到過一個奇完全數，卻也無人證明它不存在 — 這是數學中最古老的未解難題之一。完全數究竟是否有無窮多個，也尚不可知，因為這取決於梅森質數是否有無窮多個。