普朗歇雷爾定理（Plancherel theorem）
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當你把一個訊號拆成它的各個頻率時，會不會損失什麼？普朗歇雷爾定理以最強的意義回答：不會。一個訊號的總「能量」，以其平方的積分來度量，無論你在實體空間或頻率空間中計算，都完全相同。轉換只是把同樣的能量在不同頻率間重新打包；它既不創造、也不毀滅能量。
其敘述是一條乾淨的恆等式：integral from -infinity to infinity of |f(x)|^2 dx 等於 (1/(2*pi)) integral from -infinity to infinity of |f-hat(xi)|^2 dxi（2*pi 放在哪裡取決於你的約定）。左側把訊號在各位置上的平方大小加總；右側把其頻譜在各頻率上的平方大小加總；兩個總量相等。與之密切相關的帕塞瓦爾形式，對兩個函數的內積也說同樣的話，而不僅是函數與自身：integral of f times the conjugate of g 等於 (1/(2*pi)) integral of f-hat times the conjugate of g-hat。用線性代數的語言說，傅立葉轉換是一個旋轉（一個么正映射）——它保持長度與夾角。
它對偏微分方程之所以重要：它是度量解的大小最自然的方式。對熱方程 u-hat(xi, t) = f-hat(xi) e^(-k*xi^2 t)，因子 e^(-k*xi^2 t) 介於 0 與 1 之間，所以每個 |u-hat|^2 都只會縮小；由普朗歇雷爾定理，u^2 的積分隨時間只能遞減。這就是一個能量估計——一個「擴散會把一切阻尼下來」的乾淨證明——從轉換免費得來。同樣的恆等式撐起了整門學科中的穩定性與唯一性論證，也是通往現代偏微分方程理論所棲身的 L^2（索伯列夫）空間的橋樑。
取 f(x) = e^(-|x|)。它在空間中的平方積分為 integral of e^(-2|x|) dx = 1。它的轉換為 f-hat(xi) = 2/(1+xi^2)，而 (1/(2*pi)) integral of (2/(1+xi^2))^2 dxi 也等於 1。兩個看來截然不同的積分給出同一個數——這正是普朗歇雷爾定理在做它的記帳工作。
轉換是一個旋轉：它保持總能量，位置側等於頻率側。
許多書把同一個結果叫做帕塞瓦爾定理；歷史上的分工是帕塞瓦爾先對傅立葉級數陳述它、普朗歇雷爾對傅立葉積分陳述它，但實務上這兩個名字常被交替使用。