均方收斂（mean-square convergence）
/ Parseval: par-suh-VAL /
逐點收斂一次檢查一個點，在跳躍附近可能很挑剔。均方收斂問的是一個更容易、更寬容的問題：不是「級數在每一個點都對嗎？」而是「在整個區間上平均的總平方誤差正在縮小到零嗎？」它以部分和與 f 之平方差的面積來量度誤差——而那面積可以趨於零，即使少數孤立的點（如吉布斯尖峰的頂端）始終未能安定。
精確地說，部分和 S_N 在均方意義下收斂到 f，是指 (f - S_N)^2 在區間上的積分隨 N 增大趨於零。美妙的事實是：這對「每一個」平方可積函數 f 都成立——遠多於逐點收斂所及的函數，且完全不要求平滑性。它建立在完備性上：正弦與餘弦不只正交，更是一組完備的正交基底，所以 L^2 空間中沒有任何東西未被表示。不存在與它們全體正交的非零函數。
完備性由帕塞瓦等式（Parseval's identity）刻畫：f^2 在區間上的積分等於傅立葉係數平方之和（適當歸一化後）。從物理上讀，這是能量守恆——訊號的總能量等於其各頻率分量所攜帶能量之和。所以傅立葉級數不損失也不創造能量；它只是把 f 的能量重新分配到各模態。均方收斂加上帕塞瓦，是傅立葉級數等於其函數最乾淨、最穩健的意義，也是現代偏微分方程理論的自然場景。
對級數為 (4/pi)[ sin x + (1/3) sin 3x + (1/5) sin 5x + ... ] 的方波，帕塞瓦等式說係數平方之和 (4/pi)^2 [ 1 + 1/9 + 1/25 + ... ] 等於函數的均方值。算出來得到經典結果 1 + 1/9 + 1/25 + ... = pi^2/8——能量帳本免費送你一個數論求和。
帕塞瓦等式把 f 的能量等同於散布在其各傅立葉模態上的總能量。
均方收斂「不」蘊含每一點收斂——部分和的總平方誤差可以很小，卻仍在跳躍附近尖起（吉布斯）。三種收斂概念（逐點、一致、均方）確實不同，一般而言彼此都不蘊含。