傅立葉級數的逐點收斂（pointwise convergence）

你建好了一個函數的傅立葉級數，但這個無窮和真的加得回你一開始的函數嗎？逐點收斂問的是這個問題最基本的版本：選定一個特定的點 x，在那裡把級數加起來，看看部分和是否安定到該點上函數的值。出人意料的答案是：通常會，但在函數行為不良的地方恰有尖銳的例外。

狄利克雷定理給出乾淨、可驗證的條件。若 f 是週期的，且在每個週期上分段平滑——有界、只有有限多個跳躍與轉角、處處有單側極限與單側斜率——則它的傅立葉級數在每一點收斂。在 f 連續之處，級數恰好收斂到 f(x)。在跳躍處，它收斂到左右極限的「平均」，即缺口的中點——無論你在那裡指定 f 為何值，級數都取折中。這些就是狄利克雷條件，它們涵蓋了正常偏微分方程中出現的幾乎每個函數。

兩個誠實的提醒。第一，逐點收斂比聽起來弱：和可以在每一點收斂，卻在點與點之間行為不良，而在跳躍附近它持續過衝（吉布斯現象），即使在遠離跳躍處逐點收斂。第二，一般理論很微妙——存在傅立葉級數在某些點發散的連續函數，所以僅僅連續並不足夠；你真正需要的是狄利克雷條件的分段平滑性。為求踏實，還有更強的均方收斂，它對任何平方可積函數都成立。