吉布斯現象（Gibbs phenomenon）

把一個帶突然跳躍的函數（譬如方波）的傅立葉級數加進越來越多項，你會注意到某種頑固的東西。緊鄰跳躍處，部分和總是過衝，越過真實值竄成一個小尖峰，然後以越來越小的擺動振鈴。你或許以為加項會把過衝縮減到零。並不會。隨著加項，尖峰變得更「窄」，但它的「高度」頑固地拒絕降到某個固定比例以下。這個揮之不去的過衝就是吉布斯現象。

定量地說，無論你保留多少項，過衝都安定在跳躍幅度約 9% 的水準——大約是缺口的 0.0895 倍。尖峰越擠越靠近跳躍，佔據越來越薄的一條，所以在均方（能量）意義下它確實消失：它對總平方誤差的貢獻趨於零。但在逐點最大值的意義下它永不消失。它不是數值錯誤，也不是你算錯的徵兆——它是用平滑的波逼近不連續函數的本質特徵。

直觀是：正弦與餘弦的有限和是完全平滑的，而一條平滑曲線就是無法瞬間轉過一個尖角。要模仿垂直跳躍，它必須衝過頭再盪回來，像一輛過彎太快的車。吉布斯振鈴出現在凡是跳躍遇上截斷展開之處——影像壓縮（JPEG 邊緣周圍的振鈴）、音訊、以及偏微分方程的譜數值方法，在那裡它限制了震波與不連續附近的精度。把截斷平滑化（濾波）能馴服它，代價是模糊了跳躍。