偶延拓與奇延拓（even and odd extensions）
一個只定義在半區間 0 到 L 上的函數，缺了一半的定義域。在你把它交給傅立葉級數——它需要一個完整的週期函數——之前，你必須決定如何把缺少的左半邊（從 -L 到 0）補上。兩個最乾淨的選擇是像鏡子一樣反射它（偶延拓），或繞原點上下翻轉它（奇延拓）。你的選擇暗中決定了你得到餘弦級數還是正弦級數。
偶延拓把函數複製到垂直軸的另一側：f(-x) = f(x)，像蝴蝶的翅膀般對摺回來。偶函數只有餘弦項，所以它的傅立葉級數是餘弦級數——而由於餘弦在兩端斜率為零，這吻合諾伊曼（絕熱）邊界條件。奇延拓在反射時翻轉符號：f(-x) = -f(x)，所以圖形繞原點旋轉 180 度。奇函數只有正弦項，給出正弦級數——而正弦在兩端消失，吻合狄利克雷（值為零）邊界條件。0 到 L 上同樣的原始資料，兩種不同的補全，兩種不同的級數。
這就是「半幅」傅立葉展開背後的祕密：你可以自由選擇尊重你邊界條件的延拓，再對延拓後的週期函數施行普通的傅立葉機制。這個選擇對平滑性也有影響。偶延拓通常在 x = 0 處連續地接上自己（無跳躍），所以它的級數收斂良好；若 f(0) 不為零，奇延拓可能在那裡製造人為的跳躍，引發吉布斯振鈴。選擇同時吻合邊界條件「與」函數端點值的延拓，會給出行為最好的級數。
取 0 到 L 上的 f(x) = x。它的奇延拓是 -L 到 L 上的直線 y = x（過原點連續，但作週期時在 x = L 跳躍）。它的偶延拓是 V 形 y = |x|（原點處一個轉角，但作週期時連續）。奇延拓給出在 x = L 有跳躍引發吉布斯尖峰的正弦級數；偶延拓給出更平滑、收斂更快的餘弦級數。
偶延拓吻合諾伊曼（餘弦）；奇延拓吻合狄利克雷（正弦）——並影響級數收斂得多乾淨。
延拓的選擇由邊界條件決定，而非憑喜好：狄利克雷資料要奇延拓（正弦），諾伊曼資料要偶延拓（餘弦）。選錯會給出滿足錯誤邊界條件的級數。