三角函數的正交性（orthogonality of trigonometric functions）

兩支箭垂直，是當它們的點積為零時——它們指向真正獨立的方向，知道其一對另一無所助益。函數也能垂直，在一個精確的意義下：它們的「點積」是兩者乘積在一個區間上的積分，當該積分為零時我們稱它們正交。傅立葉分析核心的驚人事實是：正弦與餘弦這一族彼此正交——每一個都垂直於其餘所有。

具體地說，在長度為 2L 的區間上，cos(m pi x / L) 乘 cos(n pi x / L) 的積分在 m 與 n 相異時為零，同樣地不同頻率的正弦乘正弦的積分也為零，而任何正弦乘任何餘弦的積分永遠為零。只有當一條波與「自己」配對時積分才非零（等於 L）。你可以用積化和差恆等式證明這些，但直觀是：兩條不同頻率的波，乘出正值與乘出負值的時間一樣多，所以它們的乘積平均為零。

這個正交性正是傅立葉係數公式能成立的全部理由。要找出 f 中某條特定波的份量，把 f 的級數乘上那條波再積分：正交性抹去其餘每一項，只留下你想要的係數。沒有正交性，係數會糾纏得無從下手。同樣的原理，推廣為對權函數的正交性，支撐著貝索、勒壤得以及一切史特姆-劉維特徵函數展開——它是讀出係數的普適機制。