對權重的正交性（orthogonality with respect to a weight）

兩支箭在其點積為零時互相垂直。兩個函數在同樣精神下「正交」，是指它們乘積的某個積分為零——它們沒有重疊、沒有共享成分。對權重的正交性就是這個想法，只是內積改用問題的權重 w(x) 來衡量。

精確地說，函數 f 與 g 在 [a, b] 上對權重 w 正交，是指 f(x) g(x) w(x) 從 a 到 b 的積分為零。史特姆-劉維定理保證屬於不同特徵值的特徵函數，自動在這種加權意義下正交。其證明是自伴性的一行推論：(lambda_m - lambda_n) 乘 u_m u_n w 的積分，等於一個會消失的邊界項，所以當特徵值相異時該積分必為零。

這是讓特徵函數展開實用的引擎。為求 f = c_n u_n 之和中的係數 c_n，把兩邊乘 u_n w 並積分；每個交叉項都因正交性而死去，留下 c_n = (f u_n w 的積分) / (u_n^2 w 的積分)。這就是廣義的尤拉-傅立葉係數公式。沒有加權正交性，你會面對一個無窮多耦合的方程組；有了它，每個係數都能獨立讀出，正如把向量投影到互相垂直的座標軸上。