權重函數（weight function）

當你衡量一個函數有多大，或兩個函數重疊多少時，可以選擇讓區間上某些部分比其他部分更重要。權重函數 w(x) 就是你賦予每一點 x 的局部重要性——像一把中間較重、邊緣較輕（或相反）的秤。

在史特姆-劉維問題 -(p u')' + q u = lambda w u 中，權重 w(x) > 0 是擺在 lambda 前面的乘子。它由方程與幾何決定，不能任意選取。權重定義了整個理論所用的內積：(f, g) = f(x) g(x) w(x) 從 a 到 b 的積分。正交性、特徵函數的長度、以及展開係數公式，全都是用這個 w 衡量的，而非用裸積分。若忘了 w，正交關係就直接失效。

權重從何而來？每當在非笛卡兒座標系中做分離變數時，座標變換的雅可比行列式就成了權重。在圓盤上，w(r) = r（極座標的面積元 r dr d-theta）——這正是貝索函數帶因子 r 才正交的原因。在球面上，勒壤得權重來自 sin(theta)。所以權重並非任意的麻煩：它是幾何的體積元的偽裝，也正是讓正交性吻合曲面區域上真正「重疊」概念的東西。