史特姆-劉維問題（Sturm-Liouville problem）
/ shtoorm lyoo-VEEL /
當你在偏微分方程中分離變數時，空間部分總是歸結為同一類問題：找出某個微分算子只是把它「縮放」的特殊形狀（函數），以及對應的縮放倍率。史特姆-劉維問題就是這類問題的母模板。它不是單一方程，而是一整族；有限區域上幾乎每個分離後的偏微分方程都落在它的範圍內。
具體來說，史特姆-劉維問題是在區間 [a, b] 上尋找數 lambda 與非零函數 u(x)，使其滿足 -(p u')' + q u = lambda w u，並配上 a 與 b 處的邊界條件。這裡 p(x) > 0、q(x) 以及權重函數 w(x) > 0 是由偏微分方程與幾何決定的給定係數，撇號代表 d/dx。可以這樣讀它：算子 L[u] = -(p u')' + q u 作用在特殊函數 u 上時，會還給你 lambda 乘 w 乘 u。這些 lambda 是特徵值，u 是特徵函數。這正是線性代數中矩陣方程 A v = lambda v 提升到函數與微分算子的版本。
整個理論的重點在於：這個看似平凡的「帶邊界條件的常微分方程」其行為就像對稱矩陣——它擁有乾淨、實數、離散的特徵值譜，以及一組正交的特徵函數基底（見史特姆-劉維定理）。這就是為什麼分離變數法行得通，也是為什麼所得到的級數（廣義傅立葉級數）保證會收斂並表示任何合理的函數。一般的傅立葉正弦級數，即 -u'' = lambda u 配上 u(0) = u(L) = 0，只是其中最簡單的特例（p = w = 1, q = 0）。
長度為 L、兩端固定的振動弦，其空間部分為 -X'' = lambda X，X(0) = X(L) = 0。這就是 p = w = 1、q = 0 的史特姆-劉維問題。它的特徵值是 lambda_n = (n*pi/L)^2，特徵函數是 X_n = sin(n*pi*x/L)，n = 1, 2, 3, ...——正是弦的各個諧波。
最簡單的史特姆-劉維問題，正是隱藏在一般傅立葉正弦級數背後的那一個。
並非每個二階常微分方程 -(p u')' + q u = lambda w u 都性質良好：那些漂亮定理需要區間上 p > 0 與 w > 0，並配上適當的邊界條件。當 p 或 w 在端點為零，或區間為無限長時，你就進入了較困難的奇異情形。