分離變數法（separation of variables）

想像一條兩端固定的吉他弦。撥動它時整條弦都在振動，但振動的「形狀」在時間裡保持不變，只是整體放大縮小——中段先鼓起、再變平、再向下鼓，反覆如此，弦上的圖樣始終不變，變的只是它的整體大小。分離變數法就是一個大膽的猜測：偏微分方程裡藏著正是這樣的解——一個固定的空間圖樣，被另一個獨立的時間節奏單純地放大與縮小。

具體地說，對於空間 x 與時間 t 的偏微分方程，我們猜一個乘積解 u(x,t) = X(x) T(t)——一個只含 x 的函數乘上一個只含 t 的函數。把這個猜測代入方程。對熱方程 u_t = k u_xx 得到 X T' = k X'' T。兩邊同除以 k X T，左邊得到只與 t 有關的 T'/(k T)，等於右邊只與 x 有關的 X''/X。一個 t 的函數要對所有 x 與 t 都等於一個 x 的函數，唯一的可能是兩邊都等於同一個常數，記為負 lambda。這個要求把一個偏微分方程拆成兩個常微分方程 X'' + lambda X = 0 與 T' + k lambda T = 0，僅靠共用的數 lambda（分離常數）相連。常微分方程是會解的。

這是整個學科的第一個主力技術，但它既非魔法也非萬能。它需要一個「可分離」的場景：整齊的幾何（區間、矩形、圓盤、球面，而非任意形狀的區域）、常係數線性方程、以及齊次邊界條件（兩端為零）。單一個分離乘積幾乎從不能單獨滿足初始資料；真正的力量來自把無窮多個這樣的乘積疊加——而那個無窮和正是傅立葉級數。當邊界條件非齊次時，先減去一個穩態使其化為零，再行分離。