乘積解假設（product-solution ansatz）
/ ansatz: AHN-sahts /
「ansatz」只是德文裡對解的「形式」所作的一個有根據的猜測——你寫下一個帶未知量的模板，代入方程，再讓方程告訴你這個猜測是否可行、未知量必須是什麼。乘積解假設就是驅動分離變數法的那個特定猜測：解可以寫成單變數函數的乘積，每個自變數各一個。
在兩個變數時它是 u(x,t) = X(x) T(t)；三個變數時可能是 u(x,y,t) = X(x) Y(y) T(t)，在圓盤上則成為 u(r, theta) = R(r) Theta(theta)。重點在於各因子不混合變數——X 只依賴 x，T 只依賴 t。把這樣的乘積代入常係數線性偏微分方程並整個除以乘積本身，每一項都坍縮成只依賴單一變數的部分，方程便乾淨地拆成每個因子各一個常微分方程。你並非主張每個解都長這樣——多數並不。你主張的是存在「足夠多」的乘積解，足以靠相加組出一般解。
為何容許如此受限的猜測？因為疊加：偏微分方程是線性且齊次的，所以任意解的和仍是解。雖然單一乘積無法吻合凹凸不平的初始條件，無窮多乘積的組合——每個都是一個分離模態——卻可以。這個假設是種子，傅立葉級數是收成。若代入乘積後方程「不」分離（變數拒絕拆開），那正是方程在告訴你：此法在這裡不適用。
對波動方程 u_tt = c^2 u_xx，假設 u = X(x)T(t) 給出 X T'' = c^2 X'' T，故 T''/(c^2 T) = X''/X = -lambda。空間因子 sin(n pi x / L) 配上時間因子 cos(c n pi t / L) 就是單一個「簡正模態」——一個駐波。一般的振動是這些模態之和。
每個分離乘積是一個模態；真正的解是它們全體的疊加。
這個假設是一個假說而非定理：代入它是一種「檢驗」。若變數不分離（例如出現 u_xt 這類混合項，或係數同時依賴 x 與 t），乘積形式就失敗，你需要別的方法。