先驗估計（a priori estimate）
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這裡有一個巧妙、略帶弔詭的手法，位於 PDE 理論的核心。在你還不知道解是否存在之前，你往往就能證明：若有一個解存在，它不可能太大——它的大小受資料的大小所控制。這個事先得到的界，直接由方程本身導出而不必求解，就是先驗估計（a priori，拉丁文「來自之前」，意指事先、在明確知道解之前）。它是證明唯一性、穩定性、乃至最終存在性的主力，而且全程都不必把解寫出來。
最重要的一種是能量估計，它的配方短到可以走一遍。取 0 < x < L 上的熱方程 u_t = k u_xx，兩端 u 為零。把整個方程乘以 u 並在棒上積分。左邊變成 (1/2) u^2 之積分的時間導數——一個自然的「能量」。右邊，把 u 乘以 k u_xx 分部積分、並用上為零的邊界值，它變成負的 k 乘以 u_x^2 的積分，這永不為正。所以解的能量只能減少：u^2 在任何後續時刻的積分都被它的初始值界定。這一條不等式身兼三職。唯一性：若兩個解共享相同資料，它們的差有零初始能量，故永遠零能量，故兩解重合。穩定性：兩解之差被它們資料之差所界定——這就是連續依賴。而這樣的界正是透過逼近走向存在性的第一步。
為何這是標準路徑、而非僥倖的技巧：先驗估計即使在你沒有解的公式時也行得通，而這正是困難或非線性 PDE 的常態。你委身於方程的結構——它的正負號、它對能量的守恆或耗散——並讓那個結構去界定答案。要誠實面對的陷阱是「若」這個字：先驗估計假設一個（足夠平滑的）解存在，才能做那些分部積分，所以它本身只給出唯一性與穩定性，而要把這些界變成真正的存在性證明，還需要一個額外的構造（逼近、不動點、或緊緻性）。估計是引擎，存在性則圍繞它組裝起來。
對 u_t = k u_xx、u(0,t)=u(L,t)=0 的能量法：定義 E(t) = 從 0 到 L 的 (1/2) u^2 dx 之積分。則 E'(t) = u u_t 的積分 = k 乘以 u u_xx 的積分 = -k 乘以 u_x^2 的積分 <= 0。故 E(t) <= E(0)。具相同初始資料的兩個解，其差 w 滿足 E_w(0)=0，因此 E_w(t)=0，因此 w=0——唯一性直接出自此估計。
乘以 u、積分、分部積分：一個被資料界定的正能量，給出唯一性與穩定性。
先驗估計為了界定解而預設了解的存在，所以它本身只證明唯一性與穩定性，而非存在性；存在性必須另外建立（用逼近或不動點方法），之後才與此估計結合。