索伯列夫空間（Sobolev space）
/ SOH-buh-lyef /
古典偏微分方程理論堅持解必須夠平滑、處處可微——但你真正需要的函數大多沒那麼乖（撥動後帶尖角的弦、在材料接合處有折點的溫度分布），硬要求平滑等於把它們關在門外。索伯列夫空間就是你搬進去、好讓這些較粗糙的函數獲准進場的房間。它是現代泛函分析式處理偏微分方程的自然居所：不再要求解擁有貨真價實的逐點導數，只要求它與它的若干弱導數具有有限的積分大小。
精確地說，固定 R^n 中一個區域（定義域）U、一個介於 1 與無窮之間的數 p，以及你想要幾階導數的整數 k。索伯列夫空間 W^{k,p}(U) 是所有函數 u 之集合，使得 u 本身以及 u 直到 k 階的每一個弱（分布意義）導數都落在 L^p(U) 中——也就是說，每個這樣的導數都是 p 次方可積的，|導數|^p 在 U 上的積分有限。最重要的單一情形是 p = 2，記為 H^k(U) = W^{k,2}(U)；因為 L^2 範數來自一個內積，H^k 是一個希爾伯特空間，這恰恰是拉克斯-米爾格拉姆定理與伽遼金法所運行的結構。最簡單的例子 H^1(U) 容納那些平方可積、且其一階弱導數 u_x1, ..., u_xn 也平方可積的函數 u——粗略地說就是有限能量。
為何要費勁把空間擴大？因為在一個大的完備空間中證明解的存在，遠比在狹窄的平滑函數空間中容易。現代偏微分方程的策略分兩步：先找到一個住在索伯列夫空間裡的弱解（靠希爾伯特空間定理，代價低廉），再用正則性理論證明：當資料夠好時，這個弱解其實偷偷地是平滑的，並古典地滿足方程。索伯列夫空間就是第一步發生的工坊。它們是完備的（巴拿赫空間，p = 2 時為希爾伯特空間），這正是讓逼近序列的極限仍留在空間之內的性質——而平滑函數空間恰恰致命地缺乏這一點。
區間 (-1, 1) 上的帽形函數——u(x) = 1 - |x|，在兩端為 0、在 x = 0 升到尖峰——有一個尖角，因此在 0 處沒有古典導數。然而它的弱導數是在 (-1, 0) 上為 +1、在 (0, 1) 上為 -1 的階梯函數，它有界且平方可積。所以 u 與 u' 都落在 L^2 中，意味著 u 屬於 H^1(-1, 1)，儘管它在舊意義下不可微。
帶尖角的函數可能在古典意義下不可微，卻仍能愜意地住在 H^1 中。
索伯列夫空間同時依賴於區域 U、階數 k 與指數 p——H^1(U) 與 L^2(U) 並不是同一個空間，更動 p 或 k 就會改變誰能進場。只說「索伯列夫空間」而不指明這三者，是真的會有歧義的。