弱解（weak solution）

當你所求解的東西太粗糙、沒有方程字面上所要求的導數時，「解」一個偏微分方程是什麼意思？弱解就是答案：它是一個以平均、受測試的意義、而非逐點滿足方程的函數。你不要求每一點都成立負拉普拉斯 u = f，而是要求方程在你乘以任意試驗函數並積分之後成立——那個積分恆等式就是弱解必須達到的放鬆後標準。

具體地說，邊界資料為零的負拉普拉斯 u = f 的弱解，是一個 H^1_0 中的函數 u，使得對每個 H^1_0 中的試驗函數 v，grad u . grad v 的積分 = f v 的積分——正是弱形式，如今讀作「解」的定義。關鍵的放鬆在於 u 只帶一個導數，所以 u 不必兩次可微，在高維中甚至不必連續——它只需在索伯列夫空間 H^1_0 中，並使受測試的恆等式為真。古典解（帶誠實二階導數、處處滿足方程的那種）藉由分部積分自動是弱解；反方向才是深刻的方向，且唯有正則性理論做完工作後才成立。

為何甘於將就較少？因為當古典解的存在無法證明時，弱解的存在卻可以證明——這就是現代理論的整個戰略要點。拉克斯-米爾格拉姆在雙線性形式的溫和、可檢驗條件下交出弱解；當資料平滑時，你再運行橢圓正則性，把那個弱解拔靴提升為古典解。兩個誠實的提醒。第一，對橢圓方程弱解是唯一的，但對非線性守恆律（震波）它不是——那裡單憑弱解是有歧義的，你必須加上熵條件來挑出物理的那一個。第二，弱解可能真的非古典、且一直如此：在帶有尖銳內凹角的定義域上，狄利克雷問題的弱解在該角處確實有無界的梯度，再多的正則性理論也無法使它在那裡成為 C^1。弱解是那個誠實的對象；古典解是幸運的特例。