弱形式（weak formulation）
偏微分方程在其慣常的「強」形式下，如負拉普拉斯 u = f，要求 u 在每一點都有兩個誠實的導數。弱形式是一種巧妙的改述，要求的少得多——它從不對 u 求兩次導。訣竅是用任意的平滑探針函數去測試方程，再做分部積分，把導數從 u 推到探針上。出來的是一個等價的陳述，而一個粗糙得多的 u 就能滿足它。
對定義域 U 上、邊界上 u = 0 的負拉普拉斯 u = f 走一遍。兩邊乘以試驗函數 v（平滑、在邊界上為零）並在 U 上積分：(負拉普拉斯 u) v 的積分 = f v 的積分。現在對左邊做分部積分（格林恆等式）：(負拉普拉斯 u) v 的積分 = grad u . grad v 的積分 減去一個邊界項，而邊界項消失，因為 v 在邊界上為零。於是方程變成：找 H^1_0 中的 u，使得對每個 H^1_0 中的試驗函數 v，grad u . grad v 的積分 = f v 的積分。注意發生了什麼——u 現在只帶一個導數出現，恰好與 v 的一個導數匹配，所以 u 只需在 H^1 中，而非 C^2。這就是弱（或變分）形式；左邊是雙線性形式 a(u, v)，右邊是線性泛函，所以它讀作對所有 v 有 a(u, v) = L(v)。
為何這不是作弊？因為對平滑解而言兩種形式等價（分部積分可逆），所以古典解永遠是弱解——弱形式只是接納了更多候選者。回報是巨大的：弱形式完全活在希爾伯特空間 H^1_0 中，那裡拉克斯-米爾格拉姆定理在溫和條件下保證唯一解，那裡伽遼金法用有限維子空間來逼近它（通往有限元素之門）。邊界條件在此分成兩種：狄利克雷條件是「本質的」，烘焙進空間 H^1_0；諾伊曼條件是「自然的」，從你保留的邊界項中自行浮現。簡言之，弱形式就是那一步——把偏微分方程轉換成泛函分析中的一個問題。
對 (0, 1) 上、u(0) = u(1) = 0 的 -u'' = f，乘以 v 並做一次分部積分：u' v' 從 0 到 1 的積分 = f v 從 0 到 1 的積分，邊界項 [u' v] 消失，因為 v(0) = v(1) = 0。弱問題是：找 H^1_0(0, 1) 中的 u，使得對所有 H^1_0 中的 v，u' v' 的積分 = f v 的積分。解 u 只需有一個平方可積的導數——例如對點負載 f = delta 的響應就是連續的帳篷函數，它在 H^1 中卻不在 C^2 中。
做一次分部積分，把二階偏微分方程變成單階導數之間的平衡。
等價性只在單一方向上免費成立：古典解永遠是弱解，但弱解唯有經正則性理論升級後才是古典解——而在帶有凹角的定義域上，弱解可能在那裡真的不平滑、且沒有古典對應物。此外，試驗空間的選擇編碼了邊界條件，所以「同一個」偏微分方程對狄利克雷與諾伊曼資料有不同的弱形式。