索伯列夫嵌入定理（Sobolev embedding theorem）
我們以採用弱導數換來了自由，但付出了代價：索伯列夫空間中的函數可能連連續都不是，遑論古典可微。索伯列夫嵌入定理就是退款。它說：若你在 L^p 意義下擁有足夠多的弱導數，那麼你還會免費得到貨真價實的平滑性或有界性——你可以用高階導數的可積性，去換取誠實的逐點正則性。
它有兩種風味。第一種以導數換更好的可積性：R^n 中定義域上、p 小於 n 的 W^{1,p} 函數，其實落在更大指標 q = np/(n - p)（索伯列夫共軛指標）的 L^q 中——所以一階弱導數為你買下了一個嚴格更好的勒貝格空間的入場券。第二種更戲劇化的風味，在你相對於維度擁有足夠多導數時啟動：若 k - n/p > 0，則 W^{k,p} 嵌入到有界連續函數空間中（事實上是赫爾德連續的函數）——這函數在零測度集合上修正後，字面上就是連續的。經驗法則是把 k（導數）與 n/p（維度代價）相比：每一階導數值 n/p 個「平滑單位」，一旦導數壓過維度，你就從單純的可積性跨入連續性。
這是「柔軟的泛函分析世界」（我們在那裡證明了弱解存在）與「堅硬的古典世界」（我們在那裡想要一個真正平滑的解）之間的橋樑。正則性自助拔靴論證正是在這裡運行：證明弱解有許多弱導數，再援引索伯列夫嵌入，斷定它連續、或 C^1、或更平滑，直到它夠格成為古典解。值得記住的陷阱：在高維 n 中，你需要相應更多的導數才能逼出連續性——在一維，H^1 函數已經連續，但在二維，一個 H^1 函數可能無界（如某點附近的 log log of 1/r），所以一旦 n 為 2 或更大，「一階導數」就不夠了。
在一維 n = 1，嵌入說 H^1(a, b) 坐落於連續函數之中：區間上每個帶一個平方可積弱導數的函數（其一個代表元）是連續的。具體地，u(x) - u(y) = u' 從 y 到 x 的積分，由柯西-施瓦茲不等式，|u(x) - u(y)| 至多是 (|x - y| 的平方根) 乘 ||u'||_{L^2}。這就是指標為 1/2 的赫爾德連續性——直接從一個弱導數掉出來。
在一維中，單一個平方可積的導數就已逼出指標 1/2 的赫爾德連續性。
這些指標是尖銳且依賴維度的：臨界情形 k = n/p 真的很微妙——W^{1,n} 只是恰恰好無法嵌入到有界連續函數中（即 log-log 反例），所以你不能不檢查 k - n/p > 0 嚴格成立就假定「導數夠多」。這定理也需要定義域夠合理（比方說有界且邊界為利普希茨）；在狂野的定義域上，嵌入可能失效。