偏微分方程
常微分方程描述一個只依賴一個變數（通常是時間）的量，並把它的變化率與它的取值聯繫起來。但物理世界的大部分事物同時依賴好幾樣東西：金屬板裡的溫度既取決於你在哪裡，也取決於你何時觀察；吉他弦的高度既取決於沿弦的位置，也取決於時間。偏微分方程（PDE）就是這種多變數函數所滿足的方程。它是函數與它的偏導數之間的關係——偏導數是對每個變數單獨求斜率、而把其餘變數固定時得到的。
具體地說，若 u(x, t) 是未知的場，偏微分方程就是由 u 以及諸如 partial u / partial t、partial u / partial x、partial^2 u / partial x^2 等偏導數搭成的方程。熱方程 partial u / partial t = k partial^2 u / partial x^2 就是一行例子：它說某點溫度上升的速率等於一個常數乘以該點溫度在空間中彎曲的程度。由於偏微分方程只通過導數來約束函數，單獨一個偏微分方程並沒有唯一解——它有一整族解，你要通過補上空間上的邊界條件和時間上的初始條件，來挑出物理上正確的那一個。
偏微分方程是數學物理與連續介質工程的母語。熱與化學物質的擴散、弦與鼓面的振動、流體的流動、樑的彎曲、電勢與引力勢、量子波函數、金融中的期權定價——全都由偏微分方程支配。這門學科比常微分方程更難，恰恰因為解活在更高維裡、區域的幾何形狀也至關重要；大量應用數學就投入在我們能精確求解的少數幾個偏微分方程上，以及對其餘方程的近似上。
一維波動方程 partial^2 u / partial t^2 = c^2 partial^2 u / partial x^2 支配振動的弦：u(x, t) 是弦在位置 x、時刻 t 的位移，c 是由張力與密度決定的波速。
一個含兩個變數的偏微分方程；只有在指定弦兩端以及初始形狀和速度後，實際運動才被確定。
單獨一個偏微分方程是欠定的：它有無窮多解，而邊界條件與初始條件並非可有可無的附加項，而是問題真正的組成部分——改變它們就會徹底改變答案。